// ホーム / 資料 / 分布関数の世界 / ジョンソン SB 分布

ジョンソン SB 分布(Johnson SB distribution)

分布の形状

基本情報

  • 4つのパラメータ \gamma, \delta,\lambda,\xi が必要です.
    \delta>0,\lambda>0
  • 有限区間 \xi\leq x \leq \xi+\lambda で定義された連続分布です。
  • 平均対して対称にも非対称にもなり得ます。

確率

  • 累積分布関数
    F(x)=\Phi\left(\gamma+\delta\ln\frac{z}{1-z}\right)
    ここで
    z=\frac{x-\xi}{\lambda}
    で、 \Phi(\cdot) は 標準正規分布の累積分布関数です。
  • 確率密度関数
    f(x)=\frac{\delta}{\lambda\sqrt{2\pi}z(1-z)}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\gamma+\delta\ln\frac{z}{1-z}\right)^2\right]
  • Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方
     
    1
    2
    3
       
    4
    5
       
    6
    7
    8
    9
       
    10
       
    AB
    データ説明
    0.5 対象となる値
    8 分布のパラメータ Gamma の値
    2 分布のパラメータ Delta の値
    2 分布のパラメータ Lambda の値
    2 分布のパラメータ Xi の値
    =(A2-A5)/A4 Standardized variable z
    数式説明（計算結果）
    =NORMSDIST(A3+A4*LN(A7/(1-A7))) 上のデータに対する累積分布関数の値
    =A4*EXP(-0.5*(A3+A4*LN(A7/(1-A7)))^2)/(SQRT(2*PI())*A5*A7*(1-A7)) 上のデータに対する確率密度関数の値

分位点

  • 累積分布関数の逆関数
    F^{-1}(P)=\frac{\lambda\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(P)-\gamma}{\delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(P)-\gamma}{\delta}\right)}+\xi
    ここで \Phi(\cdot) は標準正規分布の累積分布関数です。
  • Excel での分位点の求め方
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
       
    AB
    データ説明
    0.5 この分布の確率
    1.7 分布のパラメータ Gamma の値
    0.9 分布のパラメータ Delta の値
    0.9 分布のパラメータ Lambda の値
    0.9 分布のパラメータ Xi の値
    数式説明（計算結果）
    =A5*EXP((NORMSINV(A2)-A3)/A4)/(1+EXP((NORMSINV(A2)-A3)/A4))+A6 上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

乱数

  • 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :
    x=\frac{\lambda\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(U)-\gamma}{\delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(U)-\gamma}{\delta}\right)}+\xi
  • Excel での乱数生成法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7

       
    AB
    データ説明
    0.5 分布のパラメータ Gamma の値
    0.5 分布のパラメータ Delta の値
    0.5 分布のパラメータ Lambda の値
    0.5 分布のパラメータ Xi の値
    数式説明（計算結果）
    =A4*EXP((NORMSINV(NTRAND(100))-A2)/A3)/(1+EXP((NORMSINV(NTRAND(100))-A2)/A3))+A5 100個のジョンソン SB 乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

    メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A7:A106 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照

 

Comments are closed.