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コーシー分布(Cauchy distribution)

チョイ悪分布コーシー分布

単峰分布で、左右対称。一目見ただけでは正規分布やロジスティック分布とあまり変わらないように見えますが、実はこの分布、裾が厚すぎて平均すら定義されない、なんともタチの悪い分布の代表なのです。

分布の形状

基本情報

  • 2つのパラメータ \mu, \phi が必要です.
    \mu>0,\phi>0
  • 無限区間 (-\infty,+\infty) で定義された連続分布です。
  • 平均、標準偏差、歪度、尖度 は定義されません

確率

  • 累積分布関数
    F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\tan^{-1}\frac{x-\mu}{\phi}
  • 確率密度関数
    f(x)=\frac{1}{\pi\phi\left[1+\left(\frac{x-\mu}{\phi}\right)^2\right]}
  • Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方
     
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    AB
    データ説明
    0.5 対象となる値
    8 分布のパラメータ Mu の値
    2 分布のパラメータ Phi の値
    数式説明（計算結果）
    =0.5+ATAN((A2-A3)/A4)/PI() 上のデータに対する累積分布関数の値
    =1/(PI()*A4*(1+((A2-A3)/A4)^2)) 上のデータに対する確率密度関数の値

分位点

  • 累積確率関数の逆関数
    F^{-1}(P)=\mu+\phi\left[\tan\pi\left(P-\frac{1}{2}\right)\right]
  • Excel での分位点の求め方
     
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    AB
    データ説明
    0.7 この分布の確率
    1.7 分布のパラメータ Mu の値
    0.9 分布のパラメータ Phi の値
    数式説明（計算結果）
    =A3+A4*(TAN(PI()*(A2-0.5))) 上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値

分布の特徴

平均 – 分布の”中心”はどこ？ (定義)

Not defined

標準偏差 – 分布はどのくらい広がっているか（定義）

Not defined

歪度 – 分布はどちらに偏っているか(定義)

Not defined

尖度 – 尖っているか丸まっているか (定義)

Not defined

乱数

  • 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :
    x=\mu+\phi\left[\tan\pi\left(U-\frac{1}{2}\right)\right]
  • Excel での乱数生成法
     
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    AB
    データ説明
    0.5 分布のパラメータ Mu の値
    0.5 分布のパラメータ Phi の値
    数式説明（計算結果）
    =A2+A3*(TAN(PI()*(NTRAND(100)-0.5))) 100個のコーシー乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

    メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A5:A104 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

参照

 

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