// ホーム / 資料 / 分布関数の世界 / 三角分布

三角分布(Triangular distribution)NtRand Supported

中学生レベル三角分布

代用品としての三角分布

有限区間の単峰分布として、ベータ分布が挙げられますが、この分布は関数がベータ関数という聞いたこともない関数で正体が隠ぺいされている！（実際のところ、Excel を使えば中身など知らなくてもいいんですが）。 また、ジョンソン SB 分布も結局は正規分布の累積分布関数が使われているので、その正体はブラックボックスになっているのです。
そこと比べると三角分布の確率密度関数は、中学生でもわかる（失礼！）1次式です。累積分布関数だって2次式にすぎません。
シンプルで扱い易いその性質から、ベータ分布の代用として用いられることも実はよくあるんです。

納期の見積もり（またまた）

ベータ分布の項で説明した PERT手法による納期の期待値算出（3点見積もり）を三角分布で行う場合ももちろんあります（だって代用品だもの）。 その場合、悲観値、楽観値、そして最可能値を用いて、
納期の期待値 = (楽観値+最可能値+悲観値）÷3
と与えられるのです（下記の平均の項目参照お願いします）。

分布の形状

基本情報

  • 3つのパラメータ a, b, c が必要です (どうやって求めるの？).
    a<c<b

    これらのパラメータはそれぞれ、分布の下限、分布の上限、分布の最頻値を表します。

  • 有限区間 a\leq x \leq b で定義された連続分布です。
  • 平均対して対称にも非対称にもなり得ます。

確率

  • 累積分布関数
    F(x)=\begin{cases}\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}\quad&(a\leq x<c)\\1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}\quad&(c\leq x\leq b)\end{cases}
  • 確率密度関数
    f(x)=\begin{cases}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}\quad&(a\leq x<c)\\\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}\quad&(c\leq x\leq b)\end{cases}
  • Excel での累積分布関数 (c.d.f.) と 確率密度関数 (p.d.f.)の求め方
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    AB
    データ説明
    1.5 対象となる値
    1 分布のパラメータ Min の値
    3 分布のパラメータ Max の値
    1.4 分布のパラメータ Mode の値
    数式説明（計算結果）
    =NTTRIANGULARDIST(A2,A3,A4,A5,TRUE) 上のデータに対する累積分布関数の値
    =NTTRIANGULARDIST(A2,A3,A4,A5,FALSE) 上のデータに対する確率密度関数の値
  • 関連 NtRand 関数 : NTTRIANGULARDIST
Triangular distribution

分位点

  • 累積確率関数の逆関数
    F^{-1}(P)=\begin{cases}\sqrt{P(c-a)(b-a)}+a\quad&\left(P< \frac{c-a}{b-a}\right)\\-\sqrt{(1-P)(b-c)(b-a)}+b\quad&\left(P\geq \frac{c-a}{b-a}\right)\end{cases}[/latex]</div> </li> <li>Excel での<a href="/jp/glossary/#local_quantile">分位点</a>の求め方 <table class="table_example"> <tbody> <tr> <td class="table_number"> <table> <tbody> <tr> <th class="underthick"> </th> </tr> <tr> <th>1</th> </tr> <tr> <th>2</th> </tr> <tr> <th>3</th> </tr> <tr> <th>4</th> </tr> <tr> <th>5</th> </tr> <tr> <th>6</th> </tr> <tr> <th>7</th> </tr> </tbody> </table> </td> <td> <table> <tbody> <tr> <th class="underthick">A</th><th class="underthick">B</th> </tr> <tr> <th class="elements">データ</th><th class="elements">説明</th> </tr> <tr> <td>0.5</td> <td>この分布の確率</td> </tr> <tr> <td>1</td> <td>分布のパラメータ Min の値</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>分布のパラメータ Max の値</td> </tr> <tr> <td>1.4</td> <td>分布のパラメータ Mode の値</td> </tr> <tr> <th class="elements">数式</th><th class="elements">説明（計算結果）</th> </tr> <tr> <td>=NTTRIANGULARINV(A2,A3,A4,A5)</td> <td>上のデータに対する累積分布関数の逆関数の値</td> </tr> </tbody> </table> </td> </tr> </tbody> </table> </li> <li>関連 NtRand 関数 : <a href="/jp/nttriangularinv/">NTTRIANGULARINV</a></li> </ul> </div> <h2>分布の特徴</h2> <h3>平均<span class="sub"> - 分布の''中心''はどこ？ (<a href="/jp/glossary/#local_mean">定義</a>)</span></h3> <div class="detail"> <ul class="dot"> <li>分布の<a href="/jp/glossary/#local_mean">平均</a> は次式で与えられます。 <div class="eq">[latex]\frac{a+b+c}{3}
  • Excel での計算法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    AB
    データ説明
    1 分布のパラメータ Min の値
    3 分布のパラメータ Max の値
    1.4 分布のパラメータ Mode の値
    数式説明（計算結果）
    =NTTRIANGULARMEAN(A2,A3,A4) 上のデータに対する分布の平均
  • 関連 NtRand 関数 : NTTRIANGULARMEAN

標準偏差 – 分布はどのくらい広がっているか（定義）

  • 分布の分散 は次式で与えられます。
    \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{18}

    標準偏差 は 分散の正の平方根です。

  • Excel での計算法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    AB
    データ説明
    1 分布のパラメータ Min の値
    3 分布のパラメータ Max の値
    1.4 分布のパラメータ Mode の値
    数式説明（計算結果）
    =NTTRIANGULARSTDEV(A2,A3,A4) 上のデータに対する分布の標準偏差
  • 関連 NtRand 関数 : NTTRIANGULARSTDEV

歪度 – 分布はどちらに偏っているか(定義)

  • 分布の歪度は次式で与えられます。
    \frac{\sqrt{2}(a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^{3/2}}
  • Excel での計算法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    AB
    データ説明
    1 分布のパラメータ Min の値
    3 分布のパラメータ Max の値
    1.4 分布のパラメータ Mode の値
    数式説明（計算結果）
    =NTTRIANGULARSKEW(A2,A3,A4) 上のデータに対する分布の歪度
  • 関連 NtRand 関数 : NTTRIANGULARSKEW

尖度 – 尖っているか丸まっているか (定義)

乱数

  • 乱数 x は一様乱数 U に対して次式で生成されます（逆関数法） :
    x=\begin{cases}\sqrt{U(c-a)(b-a)}+a\quad&\left(U< \frac{c-a}{b-a}\right)\\-\sqrt{(1-U)(b-c)(b-a)}+b\quad&\left(U\geq \frac{c-a}{b-a}\right)\end{cases}[/latex]
  • Excel での乱数生成法
     
    1
    2
    3
    4
    5
    6
       
    AB
    データ説明
    0 分布のパラメータ A の値
    3 分布のパラメータ B の値
    1.8 分布のパラメータ C の値
    数式説明（計算結果）
    =NTRANDTRIANGULAR(100,A2,A3,A5,0) 100個の三角 乱数を Mersenne Twister アルゴリズムで生成します。

    メモ： この使用例の数式は、配列数式として入力する必要があります。使用例を新規ワークシートにコピーした後、A6:A105 のセル範囲 (配列数式が入力されているセルが左上になる) を選択します。F2 キーを押し、Ctrl キーと Shift キーを押しながら Enter キーを押します。この数式が配列数式として入力されていない場合、単一の値 2 のみが計算結果として返されます。

関連 NtRand 関数

参照

 

Comments are closed.